Denklem Ve Eşitsizler Konu Anlatımı

[admin]

IRALAMA (EŞİTSİZLİK)

A. TANIM
a, b ye eşit değilse, “a ¹ b” biçiminde yazılır.
a ¹ b ise bu durumda;
a > b, “a büyüktür b den” ya da
a < b, “a küçüktür b den” olur .
Gerçel (reel) sayı ekseninde herhangi bir sayının sağında bulunan sayılar daima o sayıdan büyük, solunda bulunan sayılar da o sayıdan küçüktür.

Yukarıdaki sayı doğrusuna göre; a < b < c dir.
x > y, x ³ y, x < y ve x £ y şeklindeki ifadelere eşitsizlik denir.
B. SIRALAMANIN ÖZELİKLERİ
x, y, a, b reel (gerçel) sayılar olmak üzere,

1. Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir.
   •  a < b  ise  a + c < b + c  dir.
   •  a < b  ise  a – c < b – c  dir .
   
   
2. Bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir reel sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü aynı kalır.
   •  a < b  ve  c > 0  ise  a × c < b × c  dir.
   •  a < b  ve  c > 0  ise  dir.
    
   
   
3. Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
   •  a < b  ve  c < 0  ise  a × c > b × c  dir.
   •  a < b  ve  c < 0  ise  dir.
   
   
4. Eşitsizliklerde geçişme özeliği vardır.
   
   

(x < y ve y < z) ise x < z dir.

1. Aynı yönlü eşitsizlikler, taraf tarafa toplanabilir; fakat çıkarılamaz.
   
   

(x < y ve a < b) ise x + a < y + b dir.

1. x ile y aynı işaretli olmak üzere,
   
   

1. x ile y zıt işaretli olmak üzere,
   
   
   
2.  ve  0 < a < b ise a[sup]n[/sup] < b[sup]n[/sup]  dir.
   
   
3.  ve a < b < 0  olsun.
   
   

n çift sayma sayısı ise a[sup]n[/sup] > b[sup]n[/sup] dir.
n tek sayma sayısı ise a[sup]n[/sup] < b[sup]n[/sup] dir.

1.  – {1} olmak üzere,
   
   
   
   1. •  a > 1 ise, a[sup]n[/sup] > a  dır .
      •  0 < a < 1 ise, a[sup]n[/sup] < a  dır.
      •  – 1 < a < 0  ise,  a[sup]n[/sup] > a  dır.
      • 
      
      
   1. (0 < a < b ve 0 < c < d) ise,
      
      

   0 < a × c < b × d

   f(x) < g(x) < h(x) eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi;
   f(x) < g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi ile g(x) < h(x) eşitsizliğinin çözüm kümesinin kesişimidir.
   
   •  a × b < 0  ise  a ile b ters işaretlidir.
   
   
   •  a × b > 0  ise  a ile b aynı işaretlidir.
   
   C. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
   1. Kapalı Aralık
   a ile b reel sayılar ve a < b olsun.
   a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel sayıları içine alan küme,
   [a, b] veya a £ x £ b , x Î  şeklinde gösterilir ve bu şekilde tanımlanan aralıklara kapalı aralık denir.
   

   

   2. Açık Aralık
   a, b Î  ve a < b olsun.
   [a, b] kapalı aralığının uç noktalarının ikisi de bu aralıktan çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa açık aralık denir.
   Açık aralık, x Î  olmak üzere, (a, b) biçiminde ya da a < x < b biçiminde gösterilir .
   

   

   3. Yarı Açık Aralık
   a, b Î  ve a < b olsun.
   [a, b] kapalı aralığının uç noktalarından biri çıkarılırsa elde edilen yeni aralığa yarı açık aralık denir.
   [a, b] kapalı aralığından b noktası çıkarılırsa [a, b) veya x Î  olmak üzere,
   a £ x < b yarı açık aralığı elde edilir.
   

   

   [a, b] kapalı aralığından a noktası çıkarılırsa (a, b] veya x Î  olmak üzere, a < x £ b yarı açık aralığı elde edilir.
   

   

   [a, b] aralığının uzunluğu, b – a dır.